Reell analyse

Emnet tilbys ikke høsten 2026!

Emnet omhandler metriske rom, elementær topologi, Hilbertrom, selvadjungerte og kompakte operatorer. Grunnleggende begrep i analyse som konvergens, kontinuitet, kompletthet og kompakthet generaliseres til uendeligdimensjonale rom der elementene er funksjoner heller enn vektorer. Kurset har anvendelser innen kvantefysikk og legger det teoretiske grunnlaget for videre studier i analyse.

Undervisningsspråk: Norsk

Emnet bygger på

• MAMO2300 - Lineær algebra og introduksjon til gruppeteori
• DAFE1000 - Matematikk 1000
• DAPE2000 - Matematikk 2000 med statistikk

Ingen krav ut over opptakskrav.

Etter å ha gjennomført dette emnet har studenten følgende læringsutbytte, definert i kunnskap, ferdigheter og generell kompetanse.

Kunnskap

Studenten kan:

• forstå skillet mellom reelle og rasjonale tall
• forstå konvergens og delta-epsilon definisjonen av kontinuitet
• generalisere konvergens og kontinuitet til metriske og topologiske rom
• kjenne til eksempler på Banachrom og Hilbertrom
• forstå forskjellige typer av operatorer, som kompakte og selvadjungerte, og en spektralsats for slike operatorer
• formulere kvantefysiske konsepter i et matematisk rammeverk

Ferdigheter

Studenten kan:

• avgjøre konvergens og kontinuitet rigorøst og generalisere dette til metriske og topologiske rom
• avklare topologiske egenskaper som kompakthet til konkrete eksempler på rom
• avgjøre om relevante funksjonsrom er Banachrom
• gjøre konkrete beregninger med operatorer på Hilbertrom

Generell kompetanse

Studenten kan:

• ta analysebegrep fra kalkulus over i mer generelle rom som har stor praktisk betydning
• uttrykke seg presist innenfor et rigorøst matematisk språk
• forstå det matematiske apparatet bak kvantefysikk

Forelesninger og øvinger. Hovedbolken blir forelesninger i plenum. I øvingstimene ser vi på oppgaver som løses individuelt og i grupper, og som diskuteres, eventuelt legges fram. Formålet er å aktivere studentene gjennom semesteret.

Ingen.

Skriftlig individuell eksamen under tilsyn på 3 timer.

Eksamensresultat kan påklages.

Ved ny eller utsatt eksamen kan en annen eksamensform bli benyttet. Hvis muntlig eksamen benyttes kan denne ikke påklages.

Alle trykte og skrevne hjelpemidler tillatt.

Håndholdt kalkulator som ikke kommuniserer trådløst og som ikke kan regne symbolsk. Dersom kalkulatoren har mulighet for lagring i internminnet, skal minnet være slettet før eksamen. Stikkprøver kan foretas.

Gradert skala A-F.

En intern sensor. Ekstern sensor brukes jevnlig.